أوسع ، فصارت الزاوية الحادثة في الخارج أضيق ، فكان قرب ذلك الضلع من الخط الحادث في الخارج أزيد. ولما كان لا نهاية لمراتب المضلعات ، فكذلك لا نهاية لمراتب ذلك القرب. مع أنه يستحيل أن يصل إليه. إذ لو وصل إليه ، لا تصل أحد الضلعين بالضلع الآخر. على الاستقامة. وحينئذ يصير الخط كله مستقيما ، ويصير المضلع غير مضلع.
الخامس : إن الزوايا الحادثة عند مركز الدائرة ، لا تزيد على أربع قوائم البتة. ثم إنه ثبت أن كل مضلع يوجد ، فإن عدد المثلثات الواقعة فيه ، أقل من عدد أضلاعه باثنين. فالمعشّر يحصل فيه ثمانية مثلثات. فإذا أخرجنا من المركز خطين ، إلى طرف الضلع الواحد من أضلاع المعشّر ، حدث منه مثلث واحد ، رأسه عند المركز ، وقاعدته ضلع ذلك المعشر. إذا ثبت هذا فنقول : كلما كانت الأضلاع أكثر ، كانت المثلثات أكثر. وإذا كانت لا نهاية لإمكان تزايد الأضلاع ، فكذلك لا نهاية لحدوث المثلثات. وكلما كانت تلك المثلثات أكثر ، كانت الزوايا أضيق ، فكان أقرب أحد ذينك الضلعين من الآخر أكثر. فهذان الضلعان يتقاربان أبدا ، ولا يلتقيان.
السادس : إنا إذا أخذنا واحدا واثنين وثلاثة ، وأردنا جعلهم مثلثا واحدا ، فقد تعذر. لأنه يلزم أن يكون مجموع ضلعين ، مساويا للضلع الثالث. وهو محال. وأما إن أخذنا الاثنين والثلاثة والأربعة ، حصل منهم : مثلث منفرج الزاوية. لأن مربع الاثنين والثلاثة : ثلاثة عشر. ومربع الأربعة : ستة عشر. وأما إن أخذنا الثلاثة والأربعة والخمسة ، حصل منهم : مثلث قائم الزاوية. لأن مربع الخمسة يساوي مجموع مربع الثلاثة ، ومربع الأربعة. وأما إن أخذنا الأربعة والخمسة والستة حصل منهم : مثلثا حاد الزوايا. لأن مربع وتر الزاوية العظمى ، أقل من مجموع مربعي الضلعين المحيطين بها. فقد ثبت : أن أول المثلثات حدوثا : هو المثلث المنفرج الزاوية ، ثم القائم الزاوية ، ثم الحاد الزاوية. ثم إن مراتب هذه الزاوية الحادة في التضايق غير متناهية. فالضلعان المحيطان بها ، كأنهما يتقاربان أبدا. ومن المحال التقاؤهما. فقد ثبت وجود خطين يتقاربان أبدا ، ولا يلتقيان.